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标题: rsa加密算法理论 [打印本页]
作者: 乐乐天 时间: 2004-11-26 20:01
标题: rsa加密算法理论
它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以发明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击，至今未被完全攻破。[PP]一、RSA算法 :
# T& f; Z5 w7 |1 k4 \
# X) S, T6 O- W" k c7 f" H
[PP]首先, 找出三个数, p, q, r,
- O% ~! Y/ H7 A其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数......
: ?# a. f+ i, u
p, q, r 这三个数便是 private key
|& r+ x5 q6 b h, |; s
接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1).....
% d2 h( G* r0 X( _
这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了.....
3 h9 w: o/ e+ O再来, 计算 n = pq.......
8 t+ m0 ~1 v! L3 g3 p6 L8 ?% C$ A
m, n 这两个数便是 public key
8 W* U- Z" b' V G: U; k. B编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n....
( n% P- O' k* i- |/ K3 L
如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
4 R9 Z1 n) M7 N$ F# r3 G$ B/ c则每一位数均小於 n, 然後分段编码......
% n% \5 z* p3 J0 y1 f接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
4 [* i8 L# f; s, w0 p+ G
b 就是编码後的资料......
3 j( N2 V3 s+ V; J4 u解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
$ [" K+ g, j: J+ I
於是乎, 解码完毕...... 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :)
! M! N6 v3 k; g5 i4 f; ^如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b......
( G2 |+ c. N% n4 |8 r他如果要解码的话, 必须想办法得到 r......
3 s: R4 Q1 \+ ?7 a: h所以, 他必须先对 n 作质因数分解.........
: l; J% T6 H9 K3 `$ A0 T要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q,
, U) s1 \# o$ @使第三者作因数分解时发生困难.........
6 o) o, Q1 f; q% N( ]<定理>
+ a( B4 N& a# X& X1 w, v
若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1),
# p$ b% X1 F# H7 x% S' e: La 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
0 o$ N6 @; f: M$ C8 `7 J则 c == a mod pq
& X3 w2 H [& g证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:
2 z7 X" \3 \9 y6 F4 w8 a
m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m
8 w* ]: F) U0 z* i1 C(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)
6 h& \( l T: V: a2 Q. c" d" @
运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的........
4 o0 P: m* s% P. T/ C: N<证明>
8 c% H+ D5 K* T# p4 G: _* q
因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数
! x$ F9 D7 c* P
因为在 modulo 中是 preserve 乘法的
! b1 N) m) V* E ^. @5 x(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
. }7 p {& T) M0 P- Q8 W* N' m所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq
& r4 w* d1 j) f2 Z5 J+ \; c
1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时,
则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq
8 B; d+ I- e, `4 i# ]# I) {
2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时,
则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)
=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
=> q | c - a
因 p | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
=> p | c - a
所以, pq | c - a => c == a mod pq
, c, H3 s2 {, ~, |0 p7 T( p) u
3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上
\& m# e; U2 `- V" d7 {% s8 z4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时,
则 pq | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
=> pq | c - a
=> c == a mod pq
Q.E.D.
% A0 N0 @7 g T/ I+ g; O! Q9 _& Q
这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq)....
* k& M! W: R" k' j但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
m9 r' O& z. X2 i1 V所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能.....
A6 {; p% e* ?" P& D( K. j* I
5 }' J* d s1 }, X二、RSA 的安全性
$ q5 k+ P+ E( W/ t8 h- n
0 n* }1 A2 w8 l$ ?$ l5 Z* d
[PP]RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分
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