ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
. Z6 h3 M- x8 U& ]" X密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
; L( n# A) a1 j* |# lElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算

, A1 [, `; U/ ra = g^k ( mod p )
4 w5 L0 N/ q& P B% ~9 R再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：

. f% x" h7 |# d( K- H2 NM = xa + kb ( mod p - 1 )
/ b- ^ t( ?. {. g
签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：
, J: T4 x" H# A* ] h4 t
y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )
- M' O3 p) L1 e1 `5 B
同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算
* W, i1 S# S3 H
a = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )
: O! {# G' z) @* y& o2 C
2 V& p! E' L2 L. z4 u+ l
( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算

5 P# i# j& K) M( n5 UM = b / a^x ( mod p )
% e! [5 [6 _7 Z5 `( j+ M8 {
& j* Y1 [/ W' G* V% @　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
3 Y6 t% A3 ]; y
　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。